Задачі на ознаки подільності чисел

Рівень А

1) Знайдіть найбільше парне трицифрове число.

Розв'язання.

Найбільше трицифрове число 999 - непарне. Йому передує парне число 998. Отже, найбільше парне трицифрове число 998.

Відповідь. 998.

Покажіть, що сума двох непарний чисел - число парне.

2) Якщо число ? і b непарні, то і , де n і m - деякі натуральні числа. Тоді , а це число парне.

3) Які з чисел 2,4,12,15,20,30,35,40,110 є дільниками числа 180?

Рівень В

4) Запишіть найбільше чотирицифрове число, яке кратне 3, але не кратне 9.

Розв'язання.

Найбільше чотирицифрове число 9999 - непарне. Воно ділиться і на 3 і на 9. Якщо це число зменшити на 3, то воно стане 9996 і буде кратне числу 3, але не кратне 9.

Відповідь. 9996.

5) Знайдіть серед чисел виду три числа, кратні 5.

Розв'язання.

Для того, щоб число виду ділилося на 5, необхідно, щоб остання цифра в записі цього числа була 0 або 5. Нехай ці числа закінчуються 0, тоді числу виду повинні закінчуватися на 9 і ділитися на 3.

Розглянемо деякі з них, що задовольняють першу вимогу.

9,19,29,39,40,59,69,…

Виберемо з них ті, що задовольняють і другу вимогу.

9,39,69,…

Отже, серед чисел виду на 5 діляться числа:

9+1=10, 39+1=40, 69+1=70.

Відповідь. 10; 40; 70.

6) Знайти найбільше число, дільниками якого є числа 3,5, і 7.

Рівень С

7) Маємо 7 жетонів з цифрами 1,2,3,4,5,6,7. Довести, що жодне з семизначних чисел, складених з тих жетонів, не діляться на інше.

Розв'язання.

Нехай ? і b - семизначні числа, складені з жетонів. Припустимо, що ? ділиться на b і . Отже, також ділиться на b. Зрозуміло, що . З іншого боку, ділиться на 9, а b не ділиться на 9. Тому ділиться на 9. Отримали протиріччя.

8) Знайдіть три числа, які мають тільки три дільника.

9) Знайдіть три числа, які мають тільки чотири дільника.