Білети до екзамену з математики для 6 - А класу

Білет  № 1

1. Ознаки подільності на 10, на 5 і на 2.
2. Розв'яжіть рівняння: 6х – 12 = 5х +4
_____________________________________________________________________

Білет № 2

1. Ознаки подільності на 9 і на 3.
2. Обчисліть: ( - 3  · 1,9 + 19,5 : 4  ) : (0,16 -  )
_____________________________________________________________________

Білет № 3

1. Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа.
2. Зобразіть на координатній площині точки: А(-2;-2), В (3;5), С (0; -3). Перевірте за допомогою лінійки, лежать ці точки на одній прямій?
_____________________________________________________________________

Білет № 4

1. Найменше спільне кратне.
2. Розв'яжіть рівняння: 4 *(х+5) = 12
_____________________________________________________________________

Білет № 5

1. Основна властивість дробу. Скорочення дробів.
2. Наведіть подібні доданки: 4а-6а-2а+12-11.
_____________________________________________________________________

Білет № 6

1. Порівняння, додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.
2. Власна швидкість катера 12,8 км/год, Швидкість течії річки 1,7 км/ч. Знайдіть швидкість катера за течією і проти течії.
_____________________________________________________________________

Білет № 7

1. Додавання і віднімання мішаних чисел.
2. Розкрийте дужки: -8*(х + y – z).
_____________________________________________________________________

Білет № 8

1. Множення дробів.
2. Знайдіть значення виразу: 4а-2х+6а-3х+4х, якщо а = -0,15, х = 0,03.
_____________________________________________________________________

Білет № 9

1. Взаємно обернені числа. Знаходження дробу від числа.
2. Знайдіть значення виразу: (48-57): 0,9
_____________________________________________________________________

Білет № 10

1. Ділення звичайних дробів.
2. Площа першого поля 27,3 га. Площа другого поля на 4,8 га менше площі першого, а площа третього поля в 1,6 рази більше площі другого. Чому дорівнює площа всіх трьох полів разом?
_____________________________________________________________________

Білет №11

1. Знаходження числа за даним значенням його дробу.

2. Перетвори звичайний дріб у десятковий та обчисли:

_____________________________________________________________________

Білет № 12

1. Відносини. Пропорції. Знаходження невідомого члена пропорції.
2. Знайдіть значення виразу: 1/4 - (1 – (11 )/12)
_________________________________________________________________________

Білет № 13

1. Довжина кола і площа круга.
2. Знайдіть значення вираженні: ( 18*14-18*8)/( 18*14+18*8)
_____________________________________________________________________

Білет № 14

1. Координати на прямій.
2. Розкладіть на прості множники числа: 54; 65.
_____________________________________________________________________

Білет № 15

1. Протилежні числа.
2. При якому значенні х вірно рівність: 15/35 = х/7 ?
_____________________________________________________________________

Білет № 16

1. Порівняння додатних і від'ємних чисел.
2 . Запишіть у вигляді десяткового дробу : 3/5; 3/4; 5/8.

Білет № 17

1. Додавання чисел з різними знаками.
2. За допомогою транспортира , побудуйте ÐАОВ = 350 і ÐDЕF = 1400.
_____________________________________________________________________

Білет № 18

1. Додавання від'ємних чисел.
2. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо АВ = 3 2/5 м, ВС = 21/2 м і АС = 27/10 м.
_____________________________________________________________________

Білет № 19

1. Віднімання.
2. В одному ящику 5(3 )/10 кг винограду, що на 24/5 кг менше, ніж в іншому ящику. Скільки кілограмів винограду в двох ящиках?
_____________________________________________________________________

Білет № 20

1. Множення дадатніх і від’ємних чисел.
2. Від стрічки довжиною 8 м. відрізали шматок завдовжки 37/25 м. Знайдіть довжину решти.
_________________________________________________________________________

Білет № 21

1. Ділення додатних і від'ємних чисел.
2. Довжина прямокутника 4/5 дм, а ширина 2/3 дм. Чому дорівнює площа прямокутника?
_____________________________________________________________________

Білет № 22

1. Паралельні та перпендикулярні прямі.
2. Знайдіть значення виразу: 3/5 - 0,4 - 4/15.
_____________________________________________________________________

Проект: "Від'ємні числа", (математика, 6 клас)

                                                          Проект

Історія винекнення системи координат(матеріал до проекту Системи координат: погляд в минуле та майбутнє

Рене Декарт

Рене Декарт народився у Франції 31 березня 1596 року. Він отримав від батька невеликий спадок, який дозволив йому присвятити своє життя науці та мандрівкам. З 1604 по 1612 роки Декарт навчався в єзуїтському колежі, де отримав добру гуманітарну та математичну освіту. Він проявляв великі здібності до філософії, фізики та психології. Через слабке здоров'я директор коледжу звільнив Декарта від відвідування ранкових богослужінь і дозволив йому залишатися у ліжку до полудня — звичка, яка збереглася у Декарта на все життя. Саме ці тихі ранкові години були для нього особливо живодайними у творчому відношенні.

Після колежу Декарт навчався в університеті Пуатьє, отримавши в 1616 диплом бакалавра і ліцензію правника, виконуючи волю батька, який бажав, щоб син став юристом.

Після закінчення освіти Декарт проводив у Парижі безтурботне життя, повне насолоди. Але врешті решт такий спосіб життя став тягарем для нього, і він усамітнився для того, щоб присвятити себе математичним дослідженням. Коли йому виповнився 21 рік, він кілька років служив добровольцем в арміях Голландії, Баварії та Угорщини. За цей час Декарт набув непогані військові звички, а також деякі авантюрницькі риси характеру. Йому подобались бали та азартні ігри — при цьому гравцем він був дуже вдалим, в чому велику роль зіграв його математичний талант. У 1629 році переїхав до Нідерландів. Ніщо людське не було чужим для нього — правда єдиний його любовний роман тривав всього лише три роки. Його коханою була якась голландська жінка, яка в 1635 році народила йому дівчинку. Декарт обожнював дитину і був сильно вражений раптовою смертю дочки у п'ятирічному віці. Він завжди казав про цю втрату, як про найбільше нещастя у своєму житті.

Декарт надавав великого значення практичному використанню наукових знань. Так, його цікавило, яким чином можна зберегти волосся від посивіння. Він проводив також деякі досліди з кріслом-гойдалкою.

Одного разу під час служби в армії Декарту наснився сон, що мав велике значення для всього його життя. Весь день 10 листопада він провів на самоті у своїй кімнаті, міркуючи над науковими та математичними проблемами. Це було в старовинному баварському будинку, де кімната зігрівалася великою дерев'яною піччю, що, мабуть, сприяло творчому процесу. Непомітно для себе Декарт задрімав, і йому наснилося - як він у майбутньому розповідав,- що перед ним з'явився «дух правди» і почав докоряти йому за лінощі. Цей дух повністю оволодів свідомістю Декарта і переконав його в тому, що йому в житті необхідно довести придатність математичних принципів для пізнання природи та їхню велику користь, оскільки вони надають науковим знанням строгість та певність.

Для продовження занять математикою Декарт повернувся до Парижа, але столичне життя знову швидко набридло йому. Він продав маєток, який отримав від батька і переїхав до самотнього сільського будинку в Голландії. Його любов до самотності була настільки великою, що потягом двадцяти років він змінив 24 будинки в 13 різних містах і при цьому тримав свою адресу в таємниці навіть від найближчих друзів, з якими підтримував постійне листування. Його єдиними і незмінними вимогами до нового місця проживання були невелика відстань до католицької церкви та університету. тою, на нього звернула свою увагу шведська королева Христина. Вона запросила Декарта давати їй уроки філософії. І хоч як Декарт любив волю і самотній спосіб життя, він не міг не проявити поваги до королівського прохання. Королева прислала за ним військового корабля, і наприкінці 1649 року він ступив на землю Швеції. Проте королева Христина виявилась не зразковою ученицею. Вона могла викраяти для зустрічей з філософом лише дуже ранкові години - близько п'ятої години ранку. До того ж заняття проходили в погано прогрітій бібліотеці, а зима видалася дуже холодною. Кволий і хворобливий Декарт стійко переносив ранні підйоми та жорстокі ранкові холоди протягом майже чотирьох місяців. Проте врешті-решт він захворів на запалення легень і помер 11 лютого 1650 року.

Цікавим постскриптумом до смерті цієї великої людини, який віддав багато сил вивченню взаємодії тіла і душі, може послугувати історія його власного тіла після смерті. Через 16 років після його смерті його друзі вирішили, що тіло має знаходитися у Франції. Але труна, яка з цього приводу була надіслана в Швецію, виявилась занадто короткою. А тому шведська влада, не довго думаючи, вирішила відділити голову Декарта від тіла і поховати її окремо — доти, доки не будуть отримані розпорядження з Парижа.

Поки залишки філософа готували до відправки у Францію, французький посол вирішив, що непогано було б мати яку-небудь пам'ятку про великого співвітчизника. А тому він відрізав вказівний палець на правій руці Декарта. Тим часом тіло без голови і пальця, було з великими церемоніями переховано в Парижі. Через декілька років один армійський офіцер викопав череп Декарта, як сувенір, який потім протягом 150 років від одного колекціонера до іншого, поки, нарешті, не був похований у Парижі.

Усі власні папери та рукописні роботи Декарта були зібрані і після його смерті морем відправлені до Парижа. Проте корабель потонув, не діставшись до причалу. Папери протягом трьох днів знаходилися під водою. Сімнадцять років знадобилося для того, щоб в майбутньому відреставрувати їх і зробити придатними для друку.
Координатна площина
Проведемо дві перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в початку їх відліку — точці О. Ці прямі називаються осями координат. Горизон­тальну пряму називають віссю абсцис і позначають Ox, вертикальну — віссю ординат і позначають Oy. Точку О називають початком координат. Ці координатні прямі утворюють декартову прямо­кутну систему координат.Пло­щи­на, на якій задана прямокутна система координат, називається координатною площиною. Через будь-яку точку А координатної площини можна провести прямі, перпендикулярні до осей Ox іOy.
Нехай ці прямі перетнуть відповідно вісь абсцис — у точці з координатою а, а вісь ординат — у точці з координатою b.
Пара чисел (а, b) визначає положення точки А на координатній площині й називається її координатами. Позначають А(а, b). Число а називається абсцисою точки А, число b — її ординатою. Зверніть увагу: має значення, в якому порядку записані числа а і b. Точка В(b; а) не збігається з А(а;b).
Якщо точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює 0; якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю. Початок координат — О(0; 0).

Самостійна робота №3

Декартові координати на площині

Варіант І

1. В трикутнику АВС з вершинами в точках A(2;-1);В(-1;3);С(-3;1) проведена медіана AD. Знайти довжину цієї медіани та скласти рівняння прямої, що містить цю медіану.
2. Склади рівняння кола, що проходить через початок координат та точки (6;0) і (0;8). 

Варіант ІІІ

1. В трикутнику АВС з вершинами в точках А(2;-3), В(-2;3), С(6;-3) проведено середню лінію В1С1, паралельно стороні ВС. Знайдіть довжину і склади рівняння цієї середньої лінії. 
2. Склади рівняння кола, що дотикається осей х та у та прямої х=-4. 

Варіант ІІ

1. В трикутнику АВС з вершинами в точках А(-6;4), В(1;2), С(4;0) провели медіану ВD. Знайти довжину цієї медіани та скласти рівняння прямої що містить цю медіану.
2. Склади рівняння кола, описаного навколо прямокутника з вершинами в точках (24;0), (0;10), (24;10).

Варіант ІV

1. В трикутнику АВС з вершинами в точках А(-1;2), В(5;10), С(1;-2) проведено середню лінію А1В1, паралельно стороні АВ. Знайдіть довжину і складіть рівняння цієї середньої лінії. 
2. Складіть рівняння кола, що дотикається осей х та у та прямої у=6

Самостійна робота №2

Відстань між точками. Рівняння кола і прямої.

Варіант І

1. Знайти довжину діаметра кола, якщо його кінцями є точки з координатами (3;4) та (2;-1)
2. Знайти координати точок перетину кола (х-4)²+у²=25 з віссю у.

Варіант ІІІ

1. Складіть рівняння кола з центром на прямій х=-3, яке дотикається вісі у в точці (0;2).
2. Знайдіть точку перетину прямих, заданих рівняннями 3х+4у+7=0 та 3х-у-5=0

Варіант ІІ

1. Складіть рівняння кола з центром на прямій у=4, яке дотикається вісі х у точці (-1;0)
2. Знайдіть точку перетину прямих заданих рівняннями 4х-2у-3=0 та 3х+2у-9=0

Варіант ІV

1. Складіть рівняння кола, що проходить через точки (0;2), (4;0) та (4;2).
2. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки (-3;1) та (2;-2)

Самостійна робота №1

Варіант І

       1.На координатній площині зобразіть точки А(3;-1); B(-2;4); C(1;1); D(-3;-2).
       2. Знайти координати середини відрізка з кінцями в точках (3;-1) та (-2;-2)

Варіант ІІІ

1. Знади відстань від точки В(-2;1) до вісі y.
2. Знайди координати кінця діаметра, якщо його другим кінцем є точка (5;-2), а центром кола – точка (2;0)

Варіант ІІ

1. Знайти відстань від т. А(-5;-2) до вісі х.
2. Знайти координати центра кола, якщо кінці її діаметра є точки (-1;1) та (5;-5)

Варіант ІV

1. Дані точки А(2;4) та В(3;-1). Доведіть, що відрізок АВ перетинає вісь х, але не перетинає вісь y.
2. Дано три вершини паралелограма АВСD: A(-1;2), B(3;1), D(-2;3). Знайти координати вершини С.

Історичний матеріал

Рене Декарт

Рене Декарт народився у Франції 31 березня 1596 року. Він отримав від батька невеликий спадок, який дозволив йому присвятити своє життя науці та мандрівкам. З 1604 по 1612 роки Декарт навчався в єзуїтському колежі, де отримав добру гуманітарну та математичну освіту. Він проявляв великі здібності до філософії, фізики та психології. Через слабке здоров'я директор коледжу звільнив Декарта від відвідування ранкових богослужінь і дозволив йому залишатися у ліжку до полудня — звичка, яка збереглася у Декарта на все життя. Саме ці тихі ранкові години були для нього особливо живодайними у творчому відношенні.

Після колежу Декарт навчався в університеті Пуатьє, отримавши в 1616 диплом бакалавра і ліцензію правника, виконуючи волю батька, який бажав, щоб син став юристом.

Після закінчення освіти Декарт проводив у Парижі безтурботне життя, повне насолоди. Але врешті решт такий спосіб життя став тягарем для нього, і він усамітнився для того, щоб присвятити себе математичним дослідженням. Коли йому виповнився 21 рік, він кілька років служив добровольцем в арміях Голландії, Баварії та Угорщини. За цей час Декарт набув непогані військові звички, а також деякі авантюрницькі риси характеру. Йому подобались бали та азартні ігри — при цьому гравцем він був дуже вдалим, в чому велику роль зіграв його математичний талант. У 1629 році переїхав до Нідерландів. Ніщо людське не було чужим для нього — правда єдиний його любовний роман тривав всього лише три роки. Його коханою була якась голландська жінка, яка в 1635 році народила йому дівчинку. Декарт обожнював дитину і був сильно вражений раптовою смертю дочки у п'ятирічному віці. Він завжди казав про цю втрату, як про найбільше нещастя у своєму житті.

Декарт надавав великого значення практичному використанню наукових знань. Так, його цікавило, яким чином можна зберегти волосся від посивіння. Він проводив також деякі досліди з кріслом-гойдалкою.

Одного разу під час служби в армії Декарту наснився сон, що мав велике значення для всього його життя. Весь день 10 листопада він провів на самоті у своїй кімнаті, міркуючи над науковими та математичними проблемами. Це було в старовинному баварському будинку, де кімната зігрівалася великою дерев'яною піччю, що, мабуть, сприяло творчому процесу. Непомітно для себе Декарт задрімав, і йому наснилося - як він у майбутньому розповідав,- що перед ним з'явився «дух правди» і почав докоряти йому за лінощі. Цей дух повністю оволодів свідомістю Декарта і переконав його в тому, що йому в житті необхідно довести придатність математичних принципів для пізнання природи та їхню велику користь, оскільки вони надають науковим знанням строгість та певність.

Для продовження занять математикою Декарт повернувся до Парижа, але столичне життя знову швидко набридло йому. Він продав маєток, який отримав від батька і переїхав до самотнього сільського будинку в Голландії. Його любов до самотності була настільки великою, що потягом двадцяти років він змінив 24 будинки в 13 різних містах і при цьому тримав свою адресу в таємниці навіть від найближчих друзів, з якими підтримував постійне листування. Його єдиними і незмінними вимогами до нового місця проживання були невелика відстань до католицької церкви та університету. тою, на нього звернула свою увагу шведська королева Христина. Вона запросила Декарта давати їй уроки філософії. І хоч як Декарт любив волю і самотній спосіб життя, він не міг не проявити поваги до королівського прохання. Королева прислала за ним військового корабля, і наприкінці 1649 року він ступив на землю Швеції. Проте королева Христина виявилась не зразковою ученицею. Вона могла викраяти для зустрічей з філософом лише дуже ранкові години - близько п'ятої години ранку. До того ж заняття проходили в погано прогрітій бібліотеці, а зима видалася дуже холодною. Кволий і хворобливий Декарт стійко переносив ранні підйоми та жорстокі ранкові холоди протягом майже чотирьох місяців. Проте врешті-решт він захворів на запалення легень і помер 11 лютого 1650 року.

Цікавим постскриптумом до смерті цієї великої людини, який віддав багато сил вивченню взаємодії тіла і душі, може послугувати історія його власного тіла після смерті. Через 16 років після його смерті його друзі вирішили, що тіло має знаходитися у Франції. Але труна, яка з цього приводу була надіслана в Швецію, виявилась занадто короткою. А тому шведська влада, не довго думаючи, вирішила відділити голову Декарта від тіла і поховати її окремо — доти, доки не будуть отримані розпорядження з Парижа.

Поки залишки філософа готували до відправки у Францію, французький посол вирішив, що непогано було б мати яку-небудь пам'ятку про великого співвітчизника. А тому він відрізав вказівний палець на правій руці Декарта. Тим часом тіло без голови і пальця, було з великими церемоніями переховано в Парижі. Через декілька років один армійський офіцер викопав череп Декарта, як сувенір, який потім протягом 150 років від одного колекціонера до іншого, поки, нарешті, не був похований у Парижі.

Усі власні папери та рукописні роботи Декарта були зібрані і після його смерті морем відправлені до Парижа. Проте корабель потонув, не діставшись до причалу. Папери протягом трьох днів знаходилися під водою. Сімнадцять років знадобилося для того, щоб в майбутньому відреставрувати їх і зробити придатними для друку.
Координатна площина
Проведемо дві перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в початку їх відліку — точці О. Ці прямі називаються осями координат. Горизон­тальну пряму називають віссю абсцис і позначають Ox, вертикальну — віссю ординат і позначають Oy. Точку О називають початком координат. Ці координатні прямі утворюють декартову прямо­кутну систему координат.Пло­щи­на, на якій задана прямокутна система координат, називається координатною площиною. Через будь-яку точку А координатної площини можна провести прямі, перпендикулярні до осей Ox іOy.
Нехай ці прямі перетнуть відповідно вісь абсцис — у точці з координатою а, а вісь ординат — у точці з координатою b.
Пара чисел (а, b) визначає положення точки А на координатній площині й називається її координатами. Позначають А(а, b). Число а називається абсцисою точки А, число b — її ординатою. Зверніть увагу: має значення, в якому порядку записані числа а і b. Точка В(b; а) не збігається з А(а;b).
Якщо точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює 0; якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю. Початок координат — О(0; 0).

Декартова система координат

Сучасна Декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальна вісь позначається як x (вісь абсцис), вертикальна як y (вісь ординат). В тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині — вісь z (аплікат). Всі точки в системі Декартових координат, складають так званий Декартовий простір.

Точка перетину, де осі перетинаються, називається початком координат та позначається як O. Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y — як Oy. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці виміру довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.

Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі Oy (абсциса або х-координата) та від осі Ох (ордината або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару (кортеж) чисел (x, y). В тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), та формується впорядкована трійка координат (x, y, z).

Вибір букв x, y, z походить від загального правила найменування невідомих величин другою половиною латинського алфавіту. Букви першої його половини використовуються для іменування відомих величин.

Стрілки на осях відображають те, що вони простягаються до нескінечності в цьому напрямі.

Тест

Тест з алгебри 9 клас